Poliedros que he desarrolado

Realizados en mármol de Carrara

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Los que siguen a continuación son poliedros que obtuve como resultado de buscar ciertos efectos visuales y matemáticos.

El primero que realicé es un octaedro estrellado, no convexo, y mi inención primaria era hacerlo de tal modo que desde cierto ángulo se perfilara como un octógono.

A medida que lo construía, advertía que se podía además aprovechar este perfil para obtener un poliedro tal que resumiera en la medida de lo posible a otros poliedros emparentados, aprovechando ejes de simetría similares.

Así es que resultó este Octaedro Estrellado, al que he bautizado Estrella Octogonal, pues "octaedro estrellado" alude a una aplicación general, y este es un caso de estrellamiento de entre los infinitos posibles. Además, lo considero un descubrimiento personal.

 

Diferentes puntos de vista del mismo poliedro. Realizado en mármol de Carrara, 15cm. diámetro

 

Intelecciones aparte, es muy bello.

Mantiene relaciones de simetría con el tetraedro, la Stella Octangula, el cubo, el octaedro, el dodecaedro rómbico y el icositetraedro deltoidal. Y en consecuencia, con los inversos de los citados.

Podemos observar que hay dos grupos de aristas claramente definibles: aquellas que son más externas, por así decir en lenguaje sencillo, y que forman parte del estrellamiento, y las aristas más internas de mayor longitud que las anteriores y que forman la estructura de las aristas del octaedro inscripto.

Interesantemente, si se toma para estas aristas el valor unidad, es decir que las aristas de este octaedro valen 1(uno) en consecuencia el volumen de la Estrella Octogonal es de 1 (uno). Más precisamente tiende a 1.

Causalmente, observando la disposición de los vértices en los tres ejes de coordenadas cartesianas x,y,z hallé que:

los vértices convexos, es decir aquellos 6 que ocupan los lugares correspondientes a los vértices del octaedro, tienen las siguientes posiciones:

0 0 2,
2 0 0,
0 2 0,
-2 0 0,
0 -2 0,
0 0 -2,

y los vértices no convexos, es decir aquellos 8 que hacen los estrellamientos y que ocuparían los vértices de un cubo, tienen los siguientes valores:

-1.414214 1.414214 1.414214,
-1.414214 -1.414214 1.414214,
1.414214 -1.414214 1.414214,
1.414214 1.414214 1.414214,
-1.414214 1.414214 -1.414214,
-1.414214 -1.414214 -1.414214,
1.414214 -1.414214 -1.414214
1.414214 1.414214 -1.414214

El valor 1,414214 equivale a la raíz cuadrada de 2. Es decir que estos dos conjuntos de vértices mantienen una relación de 2 y Ö2, el valor 2 correspondiente al octaedro, y el valor 1,4142...correspondiente al cubo, el cual es inverso del octaedro.

Para que quede más claro la distribución de los vértices distribuídos en dos grupos correspondientes a la intersección espacial del octaedro y el cubo, aquí va su imagen.

 

Nuevas consideraciones

Llegado a este punto, consideré el hecho de relacionar al resto de los poliedros con sus inversos, manteniendo entre ellos una proporción correspondiente a un valor n y raíz cuadrada de n respectivamente para cada uno. Para el caso del octaedro y el cubo, 2 y Ö 2; esto tiene el fundamento de que las funciones de estos dos poliedros para cálculos de volumen y otros están basadas en Ö 2.

Entonces, apliqué esta metodología con el resto de los poliedros Platónicos, pero teniendo en cuenta que cada poliedro está emparentado con un número en particular, que es el dominante en sus funciones matemáticas.

Así tenemos que el tetraedro (cuyo inverso es sí mismo) se relaciona tanto con Ö 2 como con Ö 3, y el dodecaedro y el icosaedro (inversos uno de otro) se relacionan con Ö 5.

 

Combinaciones

 

Tetraedro-Tetraedro en 3/Ö 3

Superposición

Combinación 1
El espacio queda determinado por el trazado
de las aristas con valor 3 primero

Combinación 2
El espacio queda determinado por el trazado
de las aristas con valor Ö 3

 

Tetraedro-Tetraedro en 2/Ö 2

Superposición

Combinación 1
El espacio queda determinado por el trazado
de las aristas con valor 3 primero

Combinación 2
El espacio queda determinado por el trazado
de las aristas con valor Ö 3

 

Cubo - Octaedro en 2/Ö 2

Superposición de poliedros

Combinación 1

Combinación 2

 

Octaedro - Cubo en 2/Ö 2

Combinación 1
Es muy semejante al cubo triakis,
se diferencian en el valor de ángulo diedro {3,3}

Combinación 2

Combinación 3